第21章 你真是亚撒西呐 (2-1)

“唔唔唔……”

麻中蓬一口气喝完咖啡牛奶，咬完最后一口菠萝面包，另一只手就涮涮地写起来了。

一跑步就拥有着5G网速的能力简直high到不行，这外挂的下载速度足以让某度云vip用户看了落泪。

近二十年的统考试卷和东大内招卷全都在脑内，再利用掌握解题方法只需1秒之快的模仿能力迅速从试卷解析上获取解决手法，最后利用刷题提高熟练度直至一看题目就能得出解题思路。

短短数天，麻中蓬就将近10年来的解题手法做到了第二步，现在再用一次模仿能力让麻中蓬近乎快爽上天。

只觉得许多想不通的点一下尤茅塞顿开。

现在他看的题是：

已知 n 是正整数。

（1）试求 n2+1 和 5n2+9 的最大公约数 Dn，

（2）证明(n2+1)(5n2+9)不可能是一个整数的平方。

这一问考察的是数论，第一问是求这两个数最大公约数，如果说之前的麻中蓬只能想到更相减损术和辗转相除法，并且还不了解。

那么在模仿能力发动下的麻中蓬直接就联想到了最佳的方案辗转相除法，因为使用辗转相除法比之更快。

辗转相除法，又名欧几里得算法，最早出自欧几里得的《几何原本》。我们最初学的是用于求两个非负整数的最大公约数。有两个正整数f和g，不妨设f>g，则必定会有f=qg+r（0<<r<q)，这里q和r分别表示商数和余数。

如果r=0，则f=qg，显然，g是f和g的最大公约数；

若r不为0，将表达式变形，有r=f-qg；

假设f和g的公约数为d，则设f=ad，g=bd；有r=ad-qbd=(a-qb)d，显然，d也整除r，即f与g的公约数等于g与r的公约数，那么f与g的最大公约数也就等于g与r的最大公约数。

那么，我们类推，f=q1g+r1；

g=q2r1+r2；r1=q3r2+r3……

使用辗转相除法后，得两者的余数是4，也就是说n2+1 和 5n2+9 的最大公约数就是n2+1 和4的最大公约数，由于4的约数是1，2，4，这就说明n2+1 和 5n2+9的最大公约数只可能是1，2，4。

当n为偶数时，n2+1 是奇数，所以n2+1 和 5n2+9 的最大公约数为1；

当n为奇数时，即n=2k-1(k=1，2，3.....），带进去就可以轻松得到n2+1=2(2k2-2k+1)，显然2k2-2k+1是奇数，那么，n2+1与4最大公约数不可能为4，所以n2+1 和 5n2+9 的最大公约数为2。

由于第一问已经揭示了 n2+1和5n2+9之间的结构，那么第二问可以顺着第一问继续做下去，也就是分奇偶做。

第二问他选两条路，第一种处理手法是证明n2<n2+1<(n+1)2，从而证明n2+1根本不可能为平方数，第二种是采用因式分解，相比前者自然一点。

他在这里写了两种解法，因为占用地方不大，也为了以后复习。

接下来就是利用反证法得出最终结论……

第一问几乎就是考你知不知道求最大公约数的方法，第二问的话有了第一问的提示就很简单，第二问的每一步基本都是等价转换的过程，纯考细心。

相比于文科全程不用模仿，理科卷的难度比他想象中难得太多，令麻中蓬不得不开挂。

如果他知道自己被区别对待，估计不知作何感想。

等做完这一题后，麻中蓬对于此卷掌握已完成得差不多了，直接解除了模仿能力。

“咕噜咕噜……”

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