第282章 黎曼定理和萧氏猜想 (4-1)

【定理7.3：设f是一个n维Siegel模形式，X_f^(n)是相应的广义模曲线。那么存在一个自然的Galois表示:ρ_f: Gal(Q?/Q)→ GL_n(Z_?)，使得对于任意素数p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特征多项式等于X_f^(n)在p处的Zeta函数ζ(X_f^(n)，T)……】

萧易的办公室中，他正在草稿纸上面写下关于阿廷猜想证明的最后几步。

“嗯，这个定理就成功建立了广义模曲线的几何性质与Galois表示的算术性质之间的联系。”

“有了这个结果，我总算是可以将阿廷猜想转化为关于Galois表示的一个问题了。”

“那么，这个Galois表示下的阿廷猜想就是……”

【定理7.4：设E是一个椭圆曲线，L(s，E)是它的Hasse-Weil L-函数。那么以下两个条件等价:(1) L(s，E)是整个复平面上的全纯函数，并满足一个函数方程；(2)存在一个模形式f，使得E的Galois表示ρ_E与ρ_f同构。】

萧易的嘴角微微一翘，就仿佛一切尽在他的掌握之中。

到了这一步，他就成功地将阿廷猜想转化为了另外一种形式下的问题。

绝大多数的猜想证明，也基本上都不外如是。

数学家们所需要证明的最终形式，往往都和原来的问题陈述大相径庭，但是，通过对各种数学关系之间的抽丝剥茧，就能够在这个最终形式和猜想本身的描述之间，划上代表了等价关系的符号。

至于问题原来本身的描述，更多也都是为了方便人们的理解。

就比如其他的各种问题，像是冰雹猜想这样，它的描述看起来十分的简单，但是最终证明出来的形式，就并不是本身的那样，而是一个相当复杂的式子。

包括像是安德鲁·怀尔斯所证明的费马大定理，最终的形式也是截然不同的。

因此，随着萧易现在将阿廷猜想进行了转变之后，他只需要证明每个椭圆曲线的Galois表示都来自一个模形式就行了。

“那么，定理7.5，对于任意的椭圆曲线E，存在一个广义模曲线X和一个闭嵌入i: E→ X，使得i诱导了Galois表示之间的同构:ρ_E?ρ_X°i_*。”

这个定理7.5，就是他最后一个需要完成证明的问题了。

同样的，在这里也并没有对他造成任何困难，仅仅只是略微思索了一下，然后，他就彻底完成了自己的结果。

“那么，由定理7.3，我们知道ρ_X来自一个Siegel模形式f，即ρ_X?ρ_f。”

“结合这两个结果，我们就有：ρ_E?ρ_X° i_*?ρ_f° i_*。”

“这表明ρ_E也来自一个模形式，即f的“拉回“。”

“由定理7.4，这意味着L(s，E)是整的并满足函数方程。”

“综上所述，阿廷猜想是成立的。”

【证毕。】

在草稿纸上写下了这最后的两个字，萧易也微微一笑。

历经了如今之久的时间，终于，这个阿廷猜想被他成功破解了。

如此一来，他也算是距离黎曼猜想，真正地又近了一步。

不过，在此之前，他还需要根据他现在的结果，导出阿廷猜想的结果中，那个让每个有限维复表示ρ和它们的L-函数相等的自守表示π，到底是什么样子的。

只有得到了这个式子，他才能够借此开始尝试证明黎曼猜想。

很快，他就成功地将这个全新的自守表示π给推导了出来。

“于是，我们就得到了一个函数方程。”

【L(ρ_X，s)=ε(ρ_X，s) L(ρ_X^∨，k-s)】

萧易开始观察这个方程。

这就是阿廷猜想最重要的结果。

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